微分積分例

$\int_{0}^{1} \sin (3 π t) d t$

ステップ 1

$u = 3 π t$ とします。次に $d u = 3 π d t$ すると、 $\frac{1}{3 π} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 π t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 π t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 π t]$

ステップ 1.1.2

$3 π$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 π t$ の微分係数は $3 π \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 π \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 π \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3 π$

ステップ 1.2

$u = 3 π t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 π \cdot 0$

ステップ 1.3

$3 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$0$ に $3$ をかけます。

$u_{lower} = 0 π$

ステップ 1.3.2

$0$ に $π$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 3 π t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 π \cdot 1$

ステップ 1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 3 π$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3 π} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3 π}$ をまとめます。

$\int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3 π} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3 π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3 π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3 π} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{3 π} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

ステップ 5

$3 π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + \cos (0))$

ステップ 6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{1}{3 π} (- \cos (π) + 1)$

ステップ 7.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{3 π} (- - \cos (0) + 1)$

ステップ 7.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

ステップ 7.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 π} (- - 1 + 1)$

ステップ 7.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3 π} (1 + 1)$

ステップ 7.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3 π} \cdot 2$

ステップ 7.7

$\frac{1}{3 π}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{3 π}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3 π}$

10進法形式：

$0.21220659 \dots$

微分積分 例

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