微分積分例

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

ステップ 1

$u = \frac{2 - 3 x}{4}$ とします。次に $d u = - \frac{3}{4} d x$ すると、 $- \frac{4}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = \frac{2 - 3 x}{4}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{2 - 3 x}{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 - 3 x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

ステップ 1.1.3

総和則では、 $2 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 1.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 1.1.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.6

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$- 3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

ステップ 1.1.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{4}$

ステップ 1.2

$u = \frac{2 - 3 x}{4}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 - 3 \cdot 0$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ を $- 3 \cdot 0$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

ステップ 1.3.1.3

$- 1$ を $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

ステップ 1.3.1.4

項を並べ替えます。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

ステップ 1.3.1.5

$2$ を $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

ステップ 1.3.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

ステップ 1.3.1.6.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.1.6.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

ステップ 1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$0$ に $3$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

ステップ 1.3.2.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.4

$u = \frac{2 - 3 x}{4}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2 - 3 \cdot 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ を $- 3 \cdot 8$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

ステップ 1.5.1.3

$- 1$ を $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

ステップ 1.5.1.4

項を並べ替えます。

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

ステップ 1.5.1.5

$2$ を $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

ステップ 1.5.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

ステップ 1.5.1.6.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.1.6.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

ステップ 1.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

ステップ 1.5.2.2

$12$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

ステップ 1.5.3

$- 1$ に $11$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

ステップ 1.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

ステップ 2.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{4}$ で割ります。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

ステップ 2.3

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

ステップ 2.4

$\frac{4}{3}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

ステップ 4

$\frac{4}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{4}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- \frac{11}{2}$ および $\frac{1}{2}$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ を $- \frac{11}{2}$ で因数分解します。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 6.2.2

積の法則を $- (\frac{11}{2})$ に当てはめます。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 6.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

積の法則を $\frac{11}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 7.1.2

$11$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 7.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 7.1.4

$\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ を掛けます。

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ステップ 7.1.4.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1331}{8}$ をかけます。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 7.1.4.2

$3$ に $8$ をかけます。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

ステップ 7.1.5

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

ステップ 7.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

ステップ 7.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

ステップ 7.1.8

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.8.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

ステップ 7.1.8.2

$8$ に $3$ をかけます。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

ステップ 7.3

$- 1331$ から $1$ を引きます。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

ステップ 7.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$- \frac{4}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

ステップ 7.4.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

ステップ 7.4.3

$4$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

ステップ 7.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

ステップ 7.4.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

ステップ 7.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.1

$3$ を $- 1332$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

ステップ 7.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

ステップ 7.5.3

式を書き換えます。

$- \frac{- 444}{6}$

ステップ 7.6

$- 444$ を $6$ で割ります。

$- - 74$

ステップ 7.7

$- 1$ に $- 74$ をかけます。

$74$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例