微分積分例

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = e^{1 - x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

ステップ 3.2

$\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

ステップ 4

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 4.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 4.2

$u = 1 - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 0$

ステップ 4.3

$1$ から $0$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 4.4

$u = 1 - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 8$

ステップ 4.5.2

$1$ から $8$ を引きます。

$u_{upper} = - 7$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$8$ および $0$ で $x (- e^{1 - x})$ の値を求めます。

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

ステップ 7.2

$- 7$ および $1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.2

$1$ から $8$ を引きます。

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.6

簡約します。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.8

$0$ に $e$ をかけます。

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.9

$- 8 e^{- 7}$ と $0$ をたし算します。

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

ステップ 7.3.10

簡約します。

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

ステップ 8

各項を簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

ステップ 8.2

$- 8$ と $\frac{1}{e^{7}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

ステップ 8.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

ステップ 8.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

ステップ 8.5

$- - e$ を掛けます。

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ステップ 8.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

ステップ 8.5.2

$e$ に $1$ をかけます。

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

10進法形式：

$2.71007489 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例