微分積分例

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

ステップ 1

$u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ とします。次に $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ すると、 $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d y} [5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.4.3

$5$ に $1$ をかけます。

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$3 y^{2} - 2 y + 5$ と $0$ をたし算します。

$3 y^{2} - 2 y + 5$

ステップ 1.2

$u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3.1.4

$5$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

ステップ 1.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$7$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

ステップ 1.5.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

ステップ 1.5.1.3

$- 1$ に $49$ をかけます。

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

ステップ 1.5.1.4

$5$ に $7$ をかけます。

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

ステップ 1.5.2

$343$ から $49$ を引きます。

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

ステップ 1.5.3

$294$ と $35$ をたし算します。

$u_{upper} = 329 + 1$

ステップ 1.5.4

$329$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 330$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

ステップ 3

$330$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $330$ の間の距離は $330$ です。

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

ステップ 5.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{330}{1})$

ステップ 5.3

$330$ を $1$ で割ります。

$\ln (330)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (330)$

10進法形式：

$5.79909265 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例