微分積分例

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

ステップ 1

$t$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

ステップ 2

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

ステップ 3

$u = - \frac{t}{2}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{2} d t$ すると、 $- 2 d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - \frac{t}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- \frac{t}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

ステップ 3.1.2

$- \frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{t}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 3.2

$u = - \frac{t}{2}$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 3.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u = - \frac{t}{2}$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$6$ を $2$ で割ります。

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

ステップ 3.5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = - 3$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

ステップ 4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

ステップ 4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

ステップ 5

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

ステップ 6

$- 2$ に $10$ をかけます。

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$- 3$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

ステップ 8.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

ステップ 9.2

$- 20$ に $- 1$ をかけます。

$- 20 e^{- 3} + 20$

ステップ 9.3

各項を簡約します。

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ステップ 9.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

ステップ 9.3.2

$- 20$ と $\frac{1}{e^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

ステップ 9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

10進法形式：

$19.00425863 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例