微分積分例

$\int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{3}{4}$ と ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ をまとめます。

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 3

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

ステップ 4

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 4.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 4.4

$u = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 7 + 1$

ステップ 4.5

$7$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{4}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ です。

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$7$ および $0$ で $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ の値を求めます。

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

ステップ 6.2

$8$ および $1$ で $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ の値を求めます。

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$7$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.5

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.6

$3$ に $16$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.7

$7$ に $48$ をかけます。

$\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.8

$336$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.8.1

$4$ を $336$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.8.2.4

$84$ を $1$ で割ります。

$84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.9

$0$ と $1$ をたし算します。

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.10

1のすべての数の累乗は1です。

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.11

$3$ に $1$ をかけます。

$84 - \frac{0 \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.12

$0$ に $3$ をかけます。

$84 - \frac{0}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.13

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.13.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$84 - \frac{4 (0)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.13.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.13.2.3

式を書き換えます。

$84 - \frac{0}{1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.13.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$84 - 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.14

$- 1$ に $0$ をかけます。

$84 + 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.15

$84$ と $0$ をたし算します。

$84 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.16

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.17

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.18

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.18.1

共通因数を約分します。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.18.2

式を書き換えます。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.19

$2$ を $7$ 乗します。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 128 - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.20

$\frac{3}{7}$ と $128$ をまとめます。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.21

$3$ に $128$ をかけます。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

ステップ 6.3.22

1のすべての数の累乗は1です。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1)$

ステップ 6.3.23

$- 1$ に $1$ をかけます。

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

ステップ 6.3.24

公分母の分子をまとめます。

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{384 - 3}{7}$

ステップ 6.3.25

$384$ から $3$ を引きます。

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{381}{7}$

ステップ 6.3.26

$\frac{381}{7}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$84 - \frac{381 \cdot 3}{7 \cdot 4}$

ステップ 6.3.27

$381$ に $3$ をかけます。

$84 - \frac{1143}{7 \cdot 4}$

ステップ 6.3.28

$7$ に $4$ をかけます。

$84 - \frac{1143}{28}$

ステップ 6.3.29

$84$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{28}{28}$ を掛けます。

$84 \cdot \frac{28}{28} - \frac{1143}{28}$

ステップ 6.3.30

$84$ と $\frac{28}{28}$ をまとめます。

$\frac{84 \cdot 28}{28} - \frac{1143}{28}$

ステップ 6.3.31

公分母の分子をまとめます。

$\frac{84 \cdot 28 - 1143}{28}$

ステップ 6.3.32

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.32.1

$84$ に $28$ をかけます。

$\frac{2352 - 1143}{28}$

ステップ 6.3.32.2

$2352$ から $1143$ を引きます。

$\frac{1209}{28}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1209}{28}$

10進法形式：

$43.17857142 \dots$

帯分数形：

$43 \frac{5}{28}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例