微分積分例

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{x}{4}$ とします。次に $d u = \frac{1}{4} d x$ すると、 $4 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{x}{4}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{x}{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.2

$u = \frac{x}{4}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

ステップ 1.3

$0$ を $4$ で割ります。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \frac{x}{4}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\ln (16)$ を $\ln (2^{4})$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

ステップ 1.5.2

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{4})$ を展開します。

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

ステップ 1.5.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

ステップ 1.5.3.2

$\ln (2)$ を $1$ で割ります。

$u_{upper} = \ln (2)$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{4}$ で割ります。

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

ステップ 2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

ステップ 2.3

$4$ を $e^{u}$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

ステップ 3

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (2)$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$4 (2 - e^{0})$

ステップ 5.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 (2 - 1)$

ステップ 5.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$4 \cdot 1$

ステップ 5.2.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例