微分積分例

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

ステップ 1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ に書き換えます。

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

ステップ 1.4

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 1.5

$\sin (x)$ と $1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 1.7

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 1.8

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 1.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

ステップ 1.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

ステップ 1.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 1.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

ステップ 1.13

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

ステップ 5

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

ステップ 6

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

ステップ 11

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 11.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 11.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 11.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 11.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 11.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 11.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 12

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

ステップ 14

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

ステップ 15

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$π$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

ステップ 15.2

$π$ および $0$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

ステップ 15.3

$π$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

ステップ 15.4

$2 π$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

ステップ 15.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.1

$π$ と $0$ をたし算します。

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

ステップ 15.5.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

ステップ 16.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

ステップ 16.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

ステップ 16.4

$\sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

ステップ 16.5

$\sin (2 π)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 17.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 17.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 17.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 17.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 17.6

$2$ に $2$ をかけます。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

ステップ 17.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.7.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

ステップ 17.7.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

ステップ 17.8

$0$ を $2$ で割ります。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

ステップ 17.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

ステップ 17.10

$π$ と $0$ をたし算します。

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

ステップ 17.11

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$π + 4 + \frac{π}{2}$

ステップ 17.12

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

ステップ 17.13

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

ステップ 17.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

ステップ 17.15

$π \cdot 2$ と $π$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.15.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

ステップ 17.15.2

$2 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

ステップ 18

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 π}{2} + 4$

10進法形式：

$8.71238898 \dots$

微分積分 例

微分積分例