微分積分例

$\int_{0}^{3} m^{2} {(4 m^{3} + 2)}^{3} d m$

ステップ 1

$u = 4 m^{3} + 2$ とします。次に $d u = 12 m^{2} d m$ すると、 $\frac{1}{12} d u = m^{2} d m$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 m^{3} + 2$ とします。 $\frac{d u}{d m}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 m^{3} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d m} [4 m^{3} + 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 m^{3} + 2$ の $m$ に関する積分は $\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$ です。

$\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d m} [4 m^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $m$ に対して定数なので、 $m$ に対する $4 m^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d m} [m^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d m} [m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d m} [m^{n}]$ は $n m^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 m^{2}) + \frac{d}{d m} [2]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 m^{2} + \frac{d}{d m} [2]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$2$ は $m$ について定数なので、 $m$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$12 m^{2} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12 m^{2}$ と $0$ をたし算します。

$12 m^{2}$

ステップ 1.2

$u = 4 m^{3} + 2$ の $m$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{3} + 2$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 2$

ステップ 1.3.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 2$

ステップ 1.3.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = 4 m^{3} + 2$ の $m$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \cdot 3^{3} + 2$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 4 \cdot 27 + 2$

ステップ 1.5.1.2

$4$ に $27$ をかけます。

$u_{upper} = 108 + 2$

ステップ 1.5.2

$108$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 110$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 110$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{110} u^{3} \frac{1}{12} d u$

ステップ 2

$u^{3}$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\int_{2}^{110} \frac{u^{3}}{12} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} \int_{2}^{110} u^{3} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{12} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{110}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$110$ および $2$ で $\frac{1}{4} u^{4}$ の値を求めます。

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{4} \cdot 110^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$110$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{12} (\frac{1}{4} \cdot 146410000 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{4}$ と $146410000$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (\frac{146410000}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2.3

$146410000$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$4$ を $146410000$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} (\frac{36602500}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2.3.2.4

$36602500$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2.4

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

ステップ 5.2.5

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{12} (36602500 - 16 (\frac{1}{4}))$

ステップ 5.2.6

$- 16$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 16}{4})$

ステップ 5.2.7

$- 16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.7.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

ステップ 5.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

ステップ 5.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

ステップ 5.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 4}{1})$

ステップ 5.2.7.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{12} (36602500 - 4)$

ステップ 5.2.8

$36602500$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{12} \cdot 36602496$

ステップ 5.2.9

$\frac{1}{12}$ と $36602496$ をまとめます。

$\frac{36602496}{12}$

ステップ 5.2.10

$36602496$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.1

$12$ を $36602496$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot 3050208}{12}$

ステップ 5.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 (1)}$

ステップ 5.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 \cdot 1}$

ステップ 5.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3050208}{1}$

ステップ 5.2.10.2.4

$3050208$ を $1$ で割ります。

$3050208$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例