微分積分例

$\int_{0}^{3} \frac{1}{9 - y^{2}} d y$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3^{2} - y^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{1}{(3 + y) (3 - y)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{3 + y}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(3 + y) (3 - y)$ です。

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.5

$3 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.6

$3 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$3 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (3 - y)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (3 - y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 3 + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.7.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = 3 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 3 \cdot A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.7.5

$3 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = 3 A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

ステップ 1.1.7.5.2

$(B) (3 + y)$ を $1$ で割ります。

$1 = 3 A - A y + (B) (3 + y)$

ステップ 1.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = 3 A - A y + B \cdot 3 + B y$

ステップ 1.1.7.7

$3$ を $B$ の左に移動させます。

$1 = 3 A - A y + 3 B + B y$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

ステップ 1.1.8.2

$B$ と $y$ を並べ替えます。

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

ステップ 1.1.8.3

$3 B$ を移動させます。

$1 = 3 A - y A + B y + 3 B$

ステップ 1.1.8.4

$3 A$ を移動させます。

$1 = - y A + B y + 3 A + 3 B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 3 A + 3 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$0 = - 1 A + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 1 A + B = 0$ として書き換えます。

$- 1 A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

ステップ 1.3.1.2

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$- A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

ステップ 1.3.1.3

方程式の両辺に $A$ を足します。

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $A$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$1 = 3 A + 3 B$ の $B$ のすべての発生を $A$ で置き換えます。

$1 = 3 A + 3 (A)$

$B = A$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$3 A$ と $3 A$ をたし算します。

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

ステップ 1.3.3

$1 = 6 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $6 A = 1$ として書き換えます。

$6 A = 1$

$B = A$

ステップ 1.3.3.2

$6 A = 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

$6 A = 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

ステップ 1.3.4

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{6}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$B = A$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{6}$ で置き換えます。

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 1.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

括弧を削除します。

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = \frac{1}{6}, A = \frac{1}{6}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{6}}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{3 + y}$ をかけます。

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 - y}$

ステップ 1.5.4

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{3 - y}$ をかけます。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

ステップ 3

$\frac{1}{6}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 + y} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

ステップ 4

$u_{1} = 3 + y$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{1} = 3 + y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $3 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.1.3

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{1} = 3 + y$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 + 0$

ステップ 4.3

$3$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 4.4

$u_{1} = 3 + y$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 + 3$

ステップ 4.5

$3$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 6$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 6$

ステップ 4.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} \int_{3}^{6} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 7

$u_{2} = 3 - y$ とします。次に $d u_{2} = - d y$ すると、 $- d u_{2} = d y$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = 3 - y$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 7.2

$u_{2} = 3 - y$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 0$

ステップ 7.3

$3$ から $0$ を引きます。

$u_{lower} = 3$

ステップ 7.4

$u_{2} = 3 - y$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = 3 - 3$

ステップ 7.5.2

$3$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

ステップ 7.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- \int_{3}^{0} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- (\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}))$

ステップ 11

$\frac{1}{6}$ と $\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$6$ および $3$ で $\ln (| u_{1} |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

ステップ 12.2

$0$ および $3$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{(\ln (| 0 |)) - \ln (| 3 |)}{6}$

ステップ 12.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot \frac{6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

ステップ 12.3.2

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

ステップ 12.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6 - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

ステップ 12.3.4

$6$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

ステップ 12.3.5

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

ステップ 12.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

ステップ 12.3.6

$\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

ステップ 13.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - \ln (\frac{| 0 |}{| 3 |})}{6}$

ステップ 13.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

ステップ 13.4

$\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}}$ を積として書き換えます。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

ステップ 13.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{| 0 |}{| 3 |}$ で割ります。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} (1 \frac{| 3 |}{| 0 |}))}{6}$

ステップ 13.6

$\frac{| 3 |}{| 0 |}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{| 3 |}{| 0 |})}{6}$

ステップ 13.7

$\frac{| 6 |}{| 3 |}$ に $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{| 6 | | 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

ステップ 13.8

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\ln (\frac{| 6 \cdot 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

ステップ 13.9

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

ステップ 13.10

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 \cdot 0 |})}{6}$

ステップ 13.11

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 0 |})}{6}$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

ステップ 14.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

ステップ 15

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

微分積分 例

微分積分例