微分積分例

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 4 x$ とします。次に $d u_{1} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.2

$u_{1} = 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

ステップ 2.3

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u_{1} = 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 (2 π)$

ステップ 2.5

$2$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 8 π$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8 π$

ステップ 2.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 3

${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} \frac{{(3 + \sin (u_{1}))}^{2}}{4} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1})$

ステップ 5

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

ステップ 5.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

ステップ 5.2

${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ を $(3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1}))$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} (3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 (3 + \sin (u_{1})) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 5.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \cdot 3 + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.5

$\sin (u_{1})$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \cdot \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.7

$\sin (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.8

$\sin (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin^{1} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + {\sin (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

ステップ 5.2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.11

$3 \sin (u_{1})$ と $3 \sin (u_{1})$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 6 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{8 π} 9 d u_{1} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 8

$6$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 \int_{0}^{8 π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 9

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 10

半角公式を利用して $\sin^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 12

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{8 π} d u_{1} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 14

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{8 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 15

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 15.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 15.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 15.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 15.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 15.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 15.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 15.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 15.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 (8 π)$

ステップ 15.5

$8$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 16 π$

ステップ 15.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16 π$

ステップ 15.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

ステップ 16

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

ステップ 17

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) d u_{2})))$

ステップ 18

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

ステップ 19

代入し簡約します。

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ステップ 19.1

$8 π$ および $0$ で $9 u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((9 (8 π)) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

ステップ 19.2

$8 π$ および $0$ で $- \cos (u_{1})$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

ステップ 19.3

$8 π$ および $0$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

ステップ 19.4

$16 π$ および $0$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

ステップ 19.5

簡約します。

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ステップ 19.5.1

$8$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{8} (72 π - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

ステップ 19.5.2

$- 9$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

ステップ 19.5.3

$72 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

ステップ 19.5.4

$8 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

ステップ 20.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - 0)))$

ステップ 20.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) + 0)))$

ステップ 20.4

$\sin (16 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} \sin (16 π)))$

ステップ 20.5

$\sin (16 π)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

ステップ 21

簡約します。

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ステップ 21.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

ステップ 21.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 \cdot 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

ステップ 21.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

ステップ 21.4

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

ステップ 21.5

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

ステップ 21.6

分子を簡約します。

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ステップ 21.6.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (0)}{2}))$

ステップ 21.6.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{0}{2}))$

ステップ 21.7

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - 0))$

ステップ 21.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π + 0))$

ステップ 21.9

$8 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π))$

ステップ 21.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 21.10.1

$2$ を $8 π$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

ステップ 21.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

ステップ 21.10.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 4 π)$

ステップ 21.11

$72 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (72 π + 4 π)$

ステップ 21.12

$72 π$ と $4 π$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (76 π)$

ステップ 21.13

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 21.13.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 (2)} (76 π)$

ステップ 21.13.2

$4$ を $76 π$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 (2)} (4 (19 π))$

ステップ 21.13.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 (19 π))$

ステップ 21.13.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (19 π)$

ステップ 21.14

$19$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{19}{2} π$

ステップ 21.15

$\frac{19}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{19 π}{2}$

ステップ 22

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{19 π}{2}$

10進法形式：

$29.84513020 \dots$

微分積分 例

微分積分例