微分積分例

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (2 π)$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{upper} = \cos (0)$

ステップ 1.5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ および $1$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 5.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1 - 1}{3}$

ステップ 5.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{0}{3}$

ステップ 5.2.5

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{3 (0)}{3}$

ステップ 5.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

ステップ 5.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

ステップ 5.2.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{0}{1}$

ステップ 5.2.5.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 0$

ステップ 5.2.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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