微分積分例

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) d x$

ステップ 1

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{2 π} d x + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

ステップ 5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 5.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 (2 π)$

ステップ 5.5

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 4 π$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

ステップ 8

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$2 π$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

ステップ 9.2

$4 π$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

ステップ 9.3

$2 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

ステップ 10.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

ステップ 10.3

$\sin (4 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π))$

ステップ 10.4

$\frac{1}{2}$ と $\sin (4 π)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (0)}{2})$

ステップ 11.1.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{0}{2})$

ステップ 11.1.2

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

ステップ 11.2

$2 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 π)$

ステップ 11.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (π))$

ステップ 11.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 π)$

ステップ 11.3.3

式を書き換えます。

$π$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$π$

10進法形式：

$3.14159265 \dots$

微分積分 例

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