微分積分例

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 4 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = 4 + x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 4 + 0$

ステップ 1.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 1.4

$u = 4 + x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4 + 4$

ステップ 1.5.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$8$ および $4$ で $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.4

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.5

$\frac{3}{4}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.6

$3$ に $16$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7

$48$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.1

$4$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2.4

$12$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.8

$4^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

ステップ 6.2.9

$3$ を $4^{\frac{4}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

ステップ 6.2.10

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $4^{1}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

ステップ 6.2.11

指数を足して $4^{\frac{4}{3}}$ に $4^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.11.1

$4^{- 1}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

ステップ 6.2.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

ステップ 6.2.11.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

ステップ 6.2.11.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

ステップ 6.2.11.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

ステップ 6.2.11.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.11.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

ステップ 6.2.11.6.2

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

ステップ 6.2.12

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

ステップ 7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{- 3}{2}$ と $4^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

10進法形式：

$3.61889842 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例