微分積分例

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 3

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 3.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 3.2

$u = π x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

ステップ 3.3

$π$ に $- 0.5$ をかけます。

$u_{lower} = - 1.57079632$

ステップ 3.4

$u = π x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

ステップ 3.5

$π$ に $0.5$ をかけます。

$u_{upper} = 1.57079632$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 4

$\cos (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 5

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 6

$\frac{1}{π}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 7

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

ステップ 8

$- (12 x^{2} - 3)$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$12$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

ステップ 9.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

ステップ 11

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $- 12$ を積分の外に移動させます。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

ステップ 13

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

ステップ 14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

ステップ 15

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$1.57079632$ および $- 1.57079632$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

ステップ 15.2

$0.5$ および $- 0.5$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

ステップ 15.3

$0.5$ および $- 0.5$ で $3 x$ の値を求めます。

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

$0.5$ を $3$ 乗します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.2

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.5

$\frac{0.125}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.7

$0.125$ と $0.125$ をたし算します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.8

$- 12$ と $\frac{0.25}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.9

$- 12$ に $0.25$ をかけます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.10

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.10.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.10.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.11

$3$ に $0.5$ をかけます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

ステップ 15.4.12

$- 3$ に $- 0.5$ をかけます。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

ステップ 15.4.13

$1.5$ と $1.5$ をたし算します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

ステップ 15.4.14

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

ステップ 16.1.2

$\frac{4}{π}$ と $\sin (1.57079632)$ をまとめます。

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

ステップ 16.1.3

$\frac{4}{π}$ と $\sin (- 1.57079632)$ をまとめます。

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

ステップ 16.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.4.1

$\sin (1.57079632)$ の値を求めます。

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

ステップ 16.1.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

ステップ 16.1.4.3

$\sin (- 1.57079632)$ の値を求めます。

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

ステップ 16.1.4.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

ステップ 16.1.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

ステップ 16.1.4.6

$- - \frac{4}{π}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.4.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

ステップ 16.1.4.6.2

$\frac{4}{π}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

ステップ 16.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

ステップ 16.1.6

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{8}{π} + 2$

ステップ 16.2

$\frac{8}{π}$ と $2$ をたし算します。

$4.54647908$

微分積分 例

微分積分例