微分積分例

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

ステップ 1

$u = x^{3}$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u = x^{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

ステップ 1.3

$0.5$ を $3$ 乗します。

$u_{lower} = 0.125$

ステップ 1.4

$u = x^{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{3}$

ステップ 1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\cot (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

ステップ 4

$\cot (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sin (u) |)$ です。

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

ステップ 5

$1$ および $0.125$ で $\ln (| \sin (u) |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{3}$ と $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

10進法形式：

$- 0.65541022 \dots$

微分積分 例

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