微分積分例

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} - \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{5} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{- 3} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$u^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

ステップ 7.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\sqrt{2}$ および $1$ で $\frac{1}{6} u^{6}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

ステップ 7.2.2

$\sqrt{2}$ および $1$ で $- \frac{1}{2 u^{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

${\sqrt{2}}^{6}$ を $2^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{6}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{3}{1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.3

$\frac{1}{6}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{8}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.4

$8$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (4)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.4.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.7

$\frac{4}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.8.1

$\frac{4}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.8.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.10.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.10.2

$8$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.11

$\frac{1}{4}$ に $\frac{7}{6}$ をかけます。

$\frac{7}{4 \cdot 6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.12

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{7}{24} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.13

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.13.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.13.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.13.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.13.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.13.4.2

式を書き換えます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.13.5

指数を求めます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.14

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 7.2.3.15

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

ステップ 7.2.3.16

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.3.17

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 7.2.3.18

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.18.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

ステップ 7.2.3.18.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

ステップ 7.2.3.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{24} - \frac{- 1 + 2}{4}$

ステップ 7.2.3.20

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4}$

ステップ 7.2.3.21

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 7.2.3.22

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $24$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.22.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{7}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6}$

ステップ 7.2.3.22.2

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{7}{24} - \frac{6}{24}$

ステップ 7.2.3.23

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 - 6}{24}$

ステップ 7.2.3.24

$7$ から $6$ を引きます。

$\frac{1}{24}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{24}$

10進法形式：

$0.041\overline{6}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例