微分積分例

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

ステップ 1

$\frac{\ln (x^{3})}{x}$ を $\frac{3 \ln (x)}{x}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

ステップ 2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 3

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

対数の法則を利用して指数の外に $4$ を移動します。

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

ステップ 3.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

ステップ 3.5.3

$4$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 4$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3 \int_{0}^{4} u d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$4$ および $0$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 6.2.2

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 6.2.2.2.3

式を書き換えます。

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 6.2.2.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 6.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 (8 - \frac{0}{2})$

ステップ 6.2.4

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.4.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

ステップ 6.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 6.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 6.2.4.2.3

式を書き換えます。

$3 (8 - \frac{0}{1})$

ステップ 6.2.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$3 (8 - 0)$

ステップ 6.2.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 (8 + 0)$

ステップ 6.2.6

$8$ と $0$ をたし算します。

$3 \cdot 8$

ステップ 6.2.7

$3$ に $8$ をかけます。

$24$

微分積分 例

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