微分積分例

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

対数の法則を利用して指数の外に $2$ を移動します。

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

ステップ 1.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

ステップ 1.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{2} u d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ および $0$ で $\frac{1}{2} u^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 3.2.5

$0$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.6

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 + 0$

ステップ 3.2.7

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

微分積分 例

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