微分積分例

$\int_{0}^{π} 2 \sin^{4} (x) d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{π} \sin^{4} (x) d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \int_{0}^{π} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

ステップ 2.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$2 \int_{0}^{π} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

ステップ 3

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$2 \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

ステップ 4

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 4.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 4.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 4.6

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

ステップ 6

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

ステップ 6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

ステップ 6.1.2.2

式を書き換えます。

$1 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

ステップ 6.1.3

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

ステップ 6.2

$\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ を積として書き換えます。

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

ステップ 6.3

${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ を展開します。

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ステップ 6.3.1

累乗法を積に書き換えます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.2

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.3

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.4

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.5

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.6

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.7

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.8

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.9

$\frac{1}{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.10

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.11

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.12

括弧を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.13

$\frac{1}{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.14

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.15

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.16

$\cos (u_{1})$ を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.17

$\frac{1}{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.18

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 6.3.19

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

ステップ 6.3.20

括弧を移動させます。

ステップ 6.3.21

$\cos (u_{1})$ を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.22

$\frac{1}{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.23

$1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.24

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.25

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.26

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.27

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.28

$- \frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.29

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.30

$\frac{1}{4}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.31

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.32

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.33

$- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.34

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.35

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.36

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.37

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.38

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.39

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.3.40

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.41

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.42

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.43

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.44

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.45

$- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ から $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ を引きます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.46

$- 2$ と $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.47

$\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ と $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.3.48

$\frac{1}{4}$ と $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 6.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$2$ を $- 2 \cos (u_{1})$ で因数分解します。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

ステップ 6.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

ステップ 6.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 6.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 9

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 11.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 12

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 14

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 14.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 14.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 14.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 14.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 14.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 (2 π)$

ステップ 14.5

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 4 π$

ステップ 14.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

ステップ 14.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 15

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 17

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 18

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 19

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 20

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 21

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

ステップ 22

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$2 π$ および $0$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

ステップ 22.2

$4 π$ および $0$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

ステップ 22.3

$2 π$ および $0$ で $\frac{1}{4} u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

ステップ 22.4

$2 π$ および $0$ で $\sin (u_{1})$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.1

$2 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.2

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2}{4} π - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.3

$\frac{2}{4}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 (π)}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.5

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.6

$0$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 22.5.7

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

ステップ 23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

ステップ 23.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

ステップ 23.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

ステップ 23.4

$\sin (4 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

ステップ 23.5

$\frac{1}{2}$ と $\sin (4 π)$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

ステップ 23.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

ステップ 23.7

$\sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 π)$

ステップ 23.8

$\sin (2 π)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2}$

ステップ 23.9

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 23.10

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 23.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2 - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 23.12

$2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 23.13

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.13.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (1)}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 23.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.13.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 23.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 23.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (0)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.1.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{0}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.1.2

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + 0) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.2

$2 π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.3.2

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (π)) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.3.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{2} π - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.4

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\frac{π}{2} - 0}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{\frac{π}{2} + 0}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.8

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.10

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.10.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

ステップ 24.11

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 24.12

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 24.12.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

ステップ 24.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

ステップ 24.14

$π$ と $π \cdot 2$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.14.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

ステップ 24.14.2

$π$ と $2 \cdot π$ をたし算します。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 25

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 π}{4}$

10進法形式：

$2.35619449 \dots$

微分積分 例

微分積分例