微分積分例

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

ステップ 2

定数の法則を当てはめます。

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

ステップ 5

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$π$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

ステップ 6.1.2

$π$ および $0$ で $x \sin (x)$ の値を求めます。

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

ステップ 6.1.3

$π$ および $0$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$π$ と $0$ をたし算します。

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

ステップ 6.1.4.2

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

ステップ 6.1.4.3

$π \sin (π)$ と $0$ をたし算します。

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

ステップ 6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

ステップ 6.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

ステップ 6.3.3

$π$ に $0$ をかけます。

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

ステップ 6.3.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

ステップ 6.3.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

ステップ 6.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

ステップ 6.3.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$π - (0 - (1 + 1))$

ステップ 6.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

ステップ 6.3.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$π - (0 - 2)$

ステップ 6.3.10

$0$ から $2$ を引きます。

$π - - 2$

ステップ 6.3.11

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$π + 2$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$π + 2$

10進法形式：

$5.14159265 \dots$

微分積分 例

微分積分例