微分積分例

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

ステップ 2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

ステップ 3

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

ステップ 4

$u = 7 x$ とします。次に $d u = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 7 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 4.1.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$7$ に $1$ をかけます。

$7$

ステップ 4.2

$u = 7 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

ステップ 4.3

$7$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = 7 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 7 π$

ステップ 4.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

ステップ 4.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{7}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u$

ステップ 7

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$π$ および $0$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

ステップ 8.2

$7 π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))$

ステップ 8.3

括弧を削除します。

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

ステップ 9.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

ステップ 10.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

ステップ 10.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

ステップ 10.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

ステップ 10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

ステップ 10.6

$7$ に $2$ をかけます。

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

ステップ 10.7

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)$

ステップ 10.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)$

ステップ 10.9

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

ステップ 10.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)$

ステップ 10.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$14 + \frac{1}{7} (1 + 1)$

ステップ 10.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$14 + \frac{1}{7} \cdot 2$

ステップ 10.13

$\frac{1}{7}$ と $2$ をまとめます。

$14 + \frac{2}{7}$

ステップ 10.14

$14$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$

ステップ 10.15

$14$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}$

ステップ 10.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}$

ステップ 10.17

分子を簡約します。

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ステップ 10.17.1

$14$ に $7$ をかけます。

$\frac{98 + 2}{7}$

ステップ 10.17.2

$98$ と $2$ をたし算します。

$\frac{100}{7}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{100}{7}$

10進法形式：

$14.28571428 \dots$

帯分数形：

$14 \frac{2}{7}$

微分積分 例

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