微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

簡約します。

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ステップ 1.1.1

$t^{4}$ を $t^{8} - t^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$t^{4}$ を $t^{8}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

ステップ 1.1.1.2

$t^{4}$ を $- t^{4}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

ステップ 1.1.1.3

$t^{4}$ を $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

ステップ 1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1

$t^{4}$ を $t^{6}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$t^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

ステップ 1.2.2

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

ステップ 2

$(t^{4} - 1) t^{- 2}$ を掛けます。

$\int_{1}^{2} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

指数を足して $t^{4}$ に $t^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{2} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

ステップ 3.1.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\int_{1}^{2} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

ステップ 3.2

$- 1 t^{- 2}$ を $- t^{- 2}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{2} t^{2} - t^{- 2} d t$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} t^{2} d t + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

ステップ 5

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

ステップ 6

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{- 2} d t$

ステップ 7

べき乗則では、 $t^{- 2}$ の $t$ に関する積分は $- t^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{3} t^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 8.2

$2$ および $1$ で $- t^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 - 1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.6

$8$ から $1$ を引きます。

$\frac{7}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 8.3.9

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 8.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 + 2}{2}$

ステップ 8.3.11

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{7}{3} - \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.12

$\frac{7}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.13

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 8.3.14

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.14.1

$\frac{7}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 8.3.14.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 8.3.14.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

ステップ 8.3.14.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

ステップ 8.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 \cdot 2 - 3}{6}$

ステップ 8.3.16

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.16.1

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{14 - 3}{6}$

ステップ 8.3.16.2

$14$ から $3$ を引きます。

$\frac{11}{6}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{11}{6}$

10進法形式：

$1.8\overline{3}$

帯分数形：

$1 \frac{5}{6}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例