微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{4 y^{2} - 7 y - 12}{y (y + 2) (y - 3)} d y$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $y (y + 2) (y - 3)$ です。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.5

$y + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.6

$y - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.6.2

$4 y^{2} - 7 y - 12$ を $1$ で割ります。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.1.2

$A ((y + 2) (y - 3))$ を $1$ で割ります。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A ((y + 2) (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 2) (y - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.2.1

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y (y - 3) + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.2.2

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.2.3

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.3.1.2

$- 3$ を $y$ の左に移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.3.1.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 y + 2 y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.3.2

$- 3 y$ と $2 y$ をたし算します。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.4

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + A (- y) + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.5.2

$- 6$ を $A$ の左に移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.6

$y + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.1

共通因数を約分します。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.6.2

$(B) (y (y - 3))$ を $1$ で割ります。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + (B) (y (y - 3)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.7

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y \cdot y + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.8

$y$ に $y$ をかけます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.9

$- 3$ を $y$ の左に移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} - 3 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.10

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} + B (- 3 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.12

$y - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.12.1

共通因数を約分します。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

ステップ 1.1.7.12.2

$(C) (y (y + 2))$ を $1$ で割ります。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + (C) (y (y + 2))$

ステップ 1.1.7.13

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

ステップ 1.1.7.14

$y$ に $y$ をかけます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

ステップ 1.1.7.15

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

ステップ 1.1.7.16

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + C (2 y)$

ステップ 1.1.7.17

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

ステップ 1.1.8.2

$B$ と $y^{2}$ を並べ替えます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

ステップ 1.1.8.3

$B$ を移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y$

ステップ 1.1.8.4

$- 6 A$ を移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y - 6 A$

ステップ 1.1.8.5

$- 3 y B$ を移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} + C y^{2} - 3 y B + 2 C y - 6 A$

ステップ 1.1.8.6

$- y A$ を移動させます。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - y A - 3 y B + 2 C y - 6 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $y^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = A + B + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 12 = - 6 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 12 = - 6 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 6 A = - 12$ として書き換えます。

$- 6 A = - 12$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.3.1.2

$- 6 A = - 12$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$- 6 A = - 12$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.3.1

$- 12$ を $- 6$ で割ります。

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$4 = A + B + C$ の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.3

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$ の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$- 7 = - 1 \cdot 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3

$4 = 2 + B + C$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $2 + B + C = 4$ として書き換えます。

$2 + B + C = 4$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$B + C = 4 - 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3.2.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$B = 4 - 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

ステップ 1.3.3.2.3

$4$ から $2$ を引きます。

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2 - C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$ の $B$ のすべての発生を $2 - C$ で置き換えます。

$- 7 = - 2 - 3 (2 - C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$- 2 - 3 (2 - C) + 2 C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 7 = - 2 - 3 \cdot 2 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- 7 = - 2 - 6 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.1.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.2.1

$- 2$ から $6$ を引きます。

$- 7 = - 8 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.2.2

$3 C$ と $2 C$ をたし算します。

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5

$- 7 = - 8 + 5 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

方程式を $- 8 + 5 C = - 7$ として書き換えます。

$- 8 + 5 C = - 7$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$5 C = - 7 + 8$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.2.2

$- 7$ と $8$ をたし算します。

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.3

$5 C = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1

$5 C = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.5.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

ステップ 1.3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $\frac{1}{5}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$B = 2 - C$ の $C$ のすべての発生を $\frac{1}{5}$ で置き換えます。

$B = 2 - (\frac{1}{5})$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

ステップ 1.3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$2 - (\frac{1}{5})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$B = 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

ステップ 1.3.6.2.1.2

$2$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$B = \frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

ステップ 1.3.6.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

ステップ 1.3.6.2.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.6.2.1.4.1

$2$ に $5$ をかけます。

$B = \frac{10 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

ステップ 1.3.6.2.1.4.2

$10$ から $1$ を引きます。

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$B = \frac{9}{5}, C = \frac{1}{5}, A = 2$

ステップ 1.4

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{y} + \frac{\frac{9}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

ステップ 1.5.2

$\frac{9}{5}$ に $\frac{1}{y + 2}$ をかけます。

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

ステップ 1.5.4

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{y - 3}$ をかけます。

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

ステップ 3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

ステップ 4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

ステップ 5

$\frac{9}{5}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{9}{5}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y + 2} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

ステップ 6

$u_{1} = y + 2$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{1} = y + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$y + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $y + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 6.1.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{1} = y + 2$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 2$

ステップ 6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 6.4

$u_{1} = y + 2$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 + 2$

ステップ 6.5

$2$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

ステップ 6.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

ステップ 8

$\frac{1}{5}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y - 3} d y$

ステップ 9

$u_{2} = y - 3$ とします。次に $d u_{2} = d y$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u_{2} = y - 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$y - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $y - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 9.1.4

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u_{2} = y - 3$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 3$

ステップ 9.3

$1$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 9.4

$u_{2} = y - 3$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 - 3$

ステップ 9.5

$2$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 9.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 9.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ および $1$ で $\ln (| y |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

ステップ 11.2

$4$ および $3$ で $\ln (| u_{1} |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

ステップ 11.3

$- 1$ および $- 2$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 11.4

括弧を削除します。

$2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 12.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 12.3

$\frac{9}{5}$ と $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ をまとめます。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 12.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

ステップ 12.5

$\frac{1}{5}$ と $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ をまとめます。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$2 \ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

ステップ 13.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$2 \ln (\frac{2}{1}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

ステップ 13.3

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

ステップ 13.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

ステップ 13.5

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

ステップ 13.6

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{5}$

ステップ 13.7

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

10進法形式：

$1.76549265 \dots$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例