微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

ステップ 1

$u = 3 x^{2} - x$ とします。次に $d u = (6 x - 1) d x$ すると、 $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x^{2} - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x^{2} - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 x - 1$

ステップ 1.2

$u = 3 x^{2} - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 3 - 1$

ステップ 1.3.2

$3$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = 3 x^{2} - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

ステップ 1.5.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

ステップ 1.5.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 12 - 2$

ステップ 1.5.2

$12$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = 10$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

ステップ 3

$10$ および $2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $10$ の間の距離は $10$ です。

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

ステップ 5.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\ln (\frac{10}{2})$

ステップ 5.3

$10$ を $2$ で割ります。

$\ln (5)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (5)$

10進法形式：

$1.60943791 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例