微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{12 \ln^{3} (x)}{x} d x$

ステップ 1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int_{1}^{3} \frac{\ln^{3} (x)}{x} d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (3)$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (3)$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$12 \int_{0}^{\ln (3)} u^{3} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$12 (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{\ln (3)})$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ と $u^{4}$ をまとめます。

$12 (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{\ln (3)})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (3)$ および $0$ で $\frac{u^{4}}{4}$ の値を求めます。

$12 ((\frac{\ln^{4} (3)}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{0}{4})$

ステップ 5.2.2

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{0}{1})$

ステップ 5.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - 0)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} + 0)$

ステップ 5.2.4

$\frac{\ln^{4} (3)}{4}$ と $0$ をたし算します。

$12 \frac{\ln^{4} (3)}{4}$

ステップ 5.2.5

$12$ と $\frac{\ln^{4} (3)}{4}$ をまとめます。

$\frac{12 \ln^{4} (3)}{4}$

ステップ 5.2.6

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

$4$ を $12 \ln^{4} (3)$ で因数分解します。

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4}$

ステップ 5.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4 (1)}$

ステップ 5.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \ln^{4} (3)}{1}$

ステップ 5.2.6.2.4

$3 \ln^{4} (3)$ を $1$ で割ります。

$3 \ln^{4} (3)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$3 \ln^{4} (3)$

10進法形式：

$4.37017738 \dots$

微分積分 例

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