微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{12 \ln^{5} (x)}{x} d x$

ステップ 1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{5} (x)}{x} d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (4)$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$12 \int_{0}^{\ln (4)} u^{5} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$12 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\ln (4)})$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ と $u^{6}$ をまとめます。

$12 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\ln (4)})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (4)$ および $0$ で $\frac{u^{6}}{6}$ の値を求めます。

$12 ((\frac{\ln^{6} (4)}{6}) - \frac{0^{6}}{6})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{6})$

ステップ 5.2.2

$0$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$6$ を $0$ で因数分解します。

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 (0)}{6})$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{1})$

ステップ 5.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - 0)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} + 0)$

ステップ 5.2.4

$\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ と $0$ をたし算します。

$12 \frac{\ln^{6} (4)}{6}$

ステップ 5.2.5

$12$ と $\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ をまとめます。

$\frac{12 \ln^{6} (4)}{6}$

ステップ 5.2.6

$12$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

$6$ を $12 \ln^{6} (4)$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6}$

ステップ 5.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 (1)}$

ステップ 5.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 \cdot 1}$

ステップ 5.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \ln^{6} (4)}{1}$

ステップ 5.2.6.2.4

$2 \ln^{6} (4)$ を $1$ で割ります。

$2 \ln^{6} (4)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \ln^{6} (4)$

10進法形式：

$14.19589361 \dots$

微分積分 例

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