微分積分例

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

ステップ 2

定数の法則を当てはめます。

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

ステップ 4

$u = - 0.4 x$ とします。次に $d u = - 0.4 d x$ すると、 $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - 0.4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 0.4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

ステップ 4.1.2

$- 0.4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.4 x$ の微分係数は $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.4 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 0.4$ に $1$ をかけます。

$- 0.4$

ステップ 4.2

$u = - 0.4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

ステップ 4.3

$- 0.4$ に $2$ をかけます。

$u_{lower} = - 0.8$

ステップ 4.4

$u = - 0.4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

ステップ 4.5

$- 0.4$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = - 1.2$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の前に負数を移動させます。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

ステップ 5.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{0.4}$ をまとめます。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

ステップ 7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{0.4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{0.4}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{0.4}$ と $- 2$ をまとめます。

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

ステップ 9.2

分数の前に負数を移動させます。

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$3$ および $2$ で $x$ の値を求めます。

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

ステップ 11.2

$- 1.2$ および $- 0.8$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

ステップ 11.3

$3$ から $2$ を引きます。

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

$2$ を $0.4$ で割ります。

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

ステップ 12.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

ステップ 12.1.3

分配則を当てはめます。

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

ステップ 12.1.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

ステップ 12.2

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

ステップ 12.2.2

$- 5$ と $\frac{1}{e^{1.2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

ステップ 12.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

ステップ 12.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

ステップ 12.2.5

$5$ と $\frac{1}{e^{0.8}}$ をまとめます。

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

10進法形式：

$1.74067376 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例