微分積分例

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 2

$0.1$ は $a$ に対して定数なので、 $0.1$ を積分の外に移動させます。

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 3

$u = - 0.1 a$ とします。次に $d u = - 0.1 d a$ すると、 $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - 0.1 a$ とします。 $\frac{d u}{d a}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 0.1 a$ を微分します。

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

ステップ 3.1.2

$- 0.1$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $- 0.1 a$ の微分係数は $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ です。

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.1 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$- 0.1$ に $1$ をかけます。

$- 0.1$

ステップ 3.2

$u = - 0.1 a$ の $a$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

ステップ 3.3

$- 0.1$ に $2$ をかけます。

$u_{lower} = - 0.2$

ステップ 3.4

$u = - 0.1 a$ の $a$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

ステップ 3.5

$- 0.1$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = - 0.3$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 4.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{0.1}$ をまとめます。

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 6

$- 1$ に $0.1$ をかけます。

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 7

$\frac{1}{0.1}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{0.1}$ を積分の外に移動させます。

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{0.1}$ と $- 0.1$ をまとめます。

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 8.2

$- 0.1$ と $0.1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$- 0.1$ を $- 1 (0.1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 8.2.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

ステップ 10

$2$ は $a$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

ステップ 11

$\frac{1}{a}$ の $a$ に関する積分は $\ln (| a |)$ です。

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$- 0.3$ および $- 0.2$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

ステップ 12.2

$3$ および $2$ で $\ln (| a |)$ の値を求めます。

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 12.3

括弧を削除します。

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

ステップ 13

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

ステップ 14.3

$- - \frac{1}{e^{0.2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

ステップ 14.3.2

$\frac{1}{e^{0.2}}$ に $1$ をかけます。

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

ステップ 14.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

ステップ 14.5

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 14.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

10進法形式：

$0.88884274 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例