微分積分例

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 1.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

ステップ 2

$(2 + u^{2}) u^{- 3}$ を掛けます。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

ステップ 3

指数を足して $u^{2}$ に $u^{- 3}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

ステップ 3.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

ステップ 5

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$u^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

ステップ 7.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 2}$ を分母に移動させます。

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

ステップ 8

$u^{- 1}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

代入し簡約します。

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ステップ 9.1.1

$3$ および $2$ で $- \frac{1}{2 u^{2}}$ の値を求めます。

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

ステップ 9.1.2

$3$ および $2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.2

$2$ に $9$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.5

$- \frac{1}{18}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.6

$\frac{1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $72$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.1.3.7.1

$\frac{1}{18}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.7.2

$18$ に $4$ をかけます。

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.7.3

$\frac{1}{8}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.7.4

$8$ に $9$ をかけます。

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.8

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.9

$- 4$ と $9$ をたし算します。

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.10

$2$ と $\frac{5}{72}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.11

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.12

$10$ と $72$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.12.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.12.2.1

$2$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.1.3.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

ステップ 9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

10進法形式：

$0.54435399 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例