微分積分例

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

ステップ 1

$15$ は $y$ に対して定数なので、 $15$ を積分の外に移動させます。

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

ステップ 2

$u_{1} = y^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = y^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ を ${u_{1}}^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ を $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ に書き換えます。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.3.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ とします。次に $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ を ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.2

$4$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ です。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.8

$\frac{3}{2}$ と ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.9

$4$ と $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.10

$3$ に $4$ をかけます。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.11

$2$ を $12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.12

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.3.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.12.2

共通因数を約分します。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.12.3

式を書き換えます。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.3.12.4

$6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$3$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

ステップ 4.1.4.2

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.5

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を根として書き換えます。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 5

${u_{2}}^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ と $15$ をまとめます。

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 7.2

$15$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 8

べき乗則では、 ${u_{2}}^{3}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ です。

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ を $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ に書き換えます。

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 9.2

$5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ で置き換えます。

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例