微分積分例

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

ステップ 1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$6$ を $4$ プラス $2$ に書き換える

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

ステップ 2.2

${\sec (x)}^{4 + 2}$ を $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 2.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 2.4

${\sec (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 4

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

ステップ 5

$u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 5.1

${(1 + u^{2})}^{2}$ を $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ に書き換えます。

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.7

分配則を当てはめます。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.8

$u^{4}$ を移動させます。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.9

$u^{4}$ と $1$ を並べ替えます。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.10

$u^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.11

$u^{4}$ と $1$ を並べ替えます。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

ステップ 5.12

$1$ に $1$ をかけます。

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.13

$u^{4}$ に $1$ をかけます。

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.14

$u^{4}$ に $1$ をかけます。

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.16

$4$ と $2$ をたし算します。

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.17

$u^{4}$ に $1$ をかけます。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.19

$4$ と $2$ をたし算します。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

ステップ 5.21

$4$ と $2$ をたし算します。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

ステップ 5.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

ステップ 5.23

$6$ と $2$ をたし算します。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

ステップ 5.24

$u^{6}$ と $u^{6}$ をたし算します。

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

ステップ 5.25

$2 u^{6}$ と $u^{8}$ を並べ替えます。

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

ステップ 5.26

$u^{4}$ を移動させます。

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{8}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{9} u^{9}$ です。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

ステップ 8

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

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ステップ 11.1.1

$\frac{1}{7}$ と $u^{7}$ をまとめます。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 11.1.2

$\frac{1}{9}$ と $u^{9}$ をまとめます。

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 11.1.3

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

ステップ 11.2

簡約します。

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$

微分積分 例

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