微分積分例

$\int 16 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

ステップ 1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$16 \int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = e^{4 x^{3}}$ とします。次に $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = e^{4 x^{3}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$e^{4 x^{3}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x^{3}$ で置き換えます。

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

ステップ 2.1.4.2

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$16 \int \frac{1}{12} d u_{2}$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$ を $16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$ に書き換えます。

$16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$16$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\frac{16}{12} u_{2} + C$

ステップ 4.2.2

$16$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 (4)}{12} u_{2} + C$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

ステップ 4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

ステップ 4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{4 x^{3}}$ で置き換えます。

$\frac{4}{3} e^{4 x^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例