微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

ステップ 1

分数を複数の分数に分割します。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

ステップ 3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 6

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 6.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 6.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 6.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 6.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (e)$

ステップ 6.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$e$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

ステップ 9.2

$1$ および $0$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 9.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

ステップ 9.3.3

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

ステップ 9.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 9.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 9.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

ステップ 9.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

ステップ 9.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

ステップ 9.3.5

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

ステップ 10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

ステップ 11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

ステップ 11.3

$e$ を $1$ で割ります。

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$1 - \frac{1}{2}$

ステップ 12.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - 1}{2}$

ステップ 12.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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