微分積分例

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.4

$\frac{x^{3}}{3}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

ステップ 3.5

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

ステップ 6.1.2

$\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

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ステップ 6.2.1

$e$ および $1$ で $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

ステップ 6.2.2

$e$ および $1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 6.2.3.2

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 6.2.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

ステップ 6.2.3.4

$\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

ステップ 6.2.3.5

まとめる。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.6

分配則を当てはめます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.7.1

共通因数を約分します。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.7.2

式を書き換えます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.9

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.10

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.10.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.10.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

ステップ 6.2.3.11

$3$ に $3$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

ステップ 6.2.3.12

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 6.2.3.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.3.13.1

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 6.2.3.13.2

$3$ に $3$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 6.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 6.2.3.15

$3$ を $\ln (e) e^{3}$ の左に移動させます。

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 7.1.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 7.1.1.3

分配則を当てはめます。

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 7.1.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 7.1.1.5

$3 e^{3}$ から $e^{3}$ を引きます。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

ステップ 7.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

ステップ 7.1.3

$0$ を $3$ で割ります。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

ステップ 7.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

ステップ 7.2

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

ステップ 7.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

ステップ 7.3.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 7.3.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 7.3.4

式を書き換えます。

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

ステップ 7.4

$2$ と $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

10進法形式：

$27.44738256 \dots$

微分積分 例

微分積分例