微分積分例

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{9} (x - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

$(x - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{9} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{9} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{9} x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

$- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ を $- x^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$9$ および $1$ で $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

ステップ 10.2

$9$ および $1$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.4

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.5

$\frac{2}{3}$ と $27$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.6

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.7

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.7.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.7.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.10

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.11

$18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.13.1

$18$ に $3$ をかけます。

$\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.13.2

$54$ から $2$ を引きます。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.14

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.15

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.16

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.16.1

共通因数を約分します。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.16.2

式を書き換えます。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.17

指数を求めます。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.18

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.3.19

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1)$

ステップ 10.3.20

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{52}{3} - (6 - 2)$

ステップ 10.3.21

$6$ から $2$ を引きます。

$\frac{52}{3} - 1 \cdot 4$

ステップ 10.3.22

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{52}{3} - 4$

ステップ 10.3.23

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 10.3.24

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 10.3.25

公分母の分子をまとめます。

$\frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 10.3.26

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.26.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{52 - 12}{3}$

ステップ 10.3.26.2

$52$ から $12$ を引きます。

$\frac{40}{3}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{40}{3}$

10進法形式：

$13.\overline{3}$

帯分数形：

$13 \frac{1}{3}$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例