微分積分例

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

ステップ 1

$u = x - 9$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = x - 9$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 9$

ステップ 1.3

$1$ から $9$ を引きます。

$u_{lower} = - 8$

ステップ 1.4

$u = x - 9$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 9 - 9$

ステップ 1.5

$9$ から $9$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$0$ および $- 8$ で $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.5

$\frac{3}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.6

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.8

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.8.1

共通因数を約分します。

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.8.2

式を書き換えます。

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.2.9

$- 2$ を $2$ 乗します。

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

ステップ 4.2.10

$4$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.2.11

$- 4$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

ステップ 4.2.12

$- 4$ に $3$ をかけます。

$0 + \frac{- 12}{2}$

ステップ 4.2.13

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.13.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

ステップ 4.2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.13.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

ステップ 4.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.13.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{- 6}{1}$

ステップ 4.2.13.2.4

$- 6$ を $1$ で割ります。

$0 - 6$

ステップ 4.2.14

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6$

ステップ 5

微分積分 例

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