微分積分例

$\int_{1}^{9} 4 \sqrt{x} d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{9} \sqrt{x} d x$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{9})$

ステップ 4.2

代入し簡約します。

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ステップ 4.2.1

$9$ および $1$ で $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.3.2

式を書き換えます。

$4 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$4 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.5

$2$ に $27$ をかけます。

$4 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.6

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.6.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.6.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 4.2.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1}{3})$

ステップ 4.2.2.8

$2$ に $1$ をかけます。

$4 (18 - \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.2.9

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.2.10

$18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.2.11

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

ステップ 4.2.2.12

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.12.1

$18$ に $3$ をかけます。

$4 \frac{54 - 2}{3}$

ステップ 4.2.2.12.2

$54$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{52}{3})$

ステップ 4.2.2.13

$4$ と $\frac{52}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 52}{3}$

ステップ 4.2.2.14

$4$ に $52$ をかけます。

$\frac{208}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{208}{3}$

10進法形式：

$69.\overline{3}$

帯分数形：

$69 \frac{1}{3}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例