微分積分例

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{20 - 8 x - x^{2}} d x$

ステップ 1

平方を完成させます。

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ステップ 1.1

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$20$ を移動させます。

$- 8 x - x^{2} + 20$

ステップ 1.1.2

$- 8 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} - 8 x + 20$

ステップ 1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 20$

ステップ 1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

$\frac{- 4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 4$

ステップ 1.4.2.2

$- 1 \cdot - 4$ を $- - 4$ に書き換えます。

$d = - - 4$

ステップ 1.4.2.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$d = 4$

ステップ 1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 20 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 20 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 20 - \frac{64}{- 4}$

ステップ 1.5.2.1.3

$64$ を $- 4$ で割ります。

$e = 20 - - 16$

ステップ 1.5.2.1.4

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$e = 20 + 16$

ステップ 1.5.2.2

$20$ と $16$ をたし算します。

$e = 36$

ステップ 1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x + 4)}^{2} + 36$ に代入します。

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{- {(x + 4)}^{2} + 36} d x$

ステップ 2

$u_{1} = x + 4$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = x + 4$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u_{1} = x + 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 10 + 4$

ステップ 2.3

$- 10$ と $4$ をたし算します。

$u_{lower} = - 6$

ステップ 2.4

$u_{1} = x + 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 + 4$

ステップ 2.5

$2$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 6$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

ステップ 2.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 36} d u_{1}$

ステップ 3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = 6 \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $6 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

積の法則を $6 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (6^{2} \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (36 \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.1.3

$36$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 36 \sin^{2} (t) + 36} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.2

$- 36 \sin^{2} (t)$ と $36$ を並べ替えます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.3

$36$ を $36$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.4

$36$ を $- 36 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.5

$36$ を $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.7

$36 \cos^{2} (t)$ を ${(6 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$6$ に $6$ をかけます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 4.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 4.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 4.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 4.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 5

$36$ は $t$ に対して定数なので、 $36$ を積分の外に移動させます。

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

ステップ 6

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $36$ をまとめます。

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 8.2

$36$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 8.2.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 11

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 11.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 11.2

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

ステップ 11.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 11.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ステップ 11.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = - π$

ステップ 11.4

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 11.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 11.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 11.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

ステップ 11.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 12

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 14

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ と $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ をまとめます。

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

ステップ 16

代入し簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $t$ の値を求めます。

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

ステップ 16.2

$π$ および $- π$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 16.3

簡約します。

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ステップ 16.3.1

公分母の分子をまとめます。

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 16.3.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 16.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.3.3.1

共通因数を約分します。

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 16.3.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分子を簡約します。

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ステップ 17.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

ステップ 17.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

ステップ 17.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

ステップ 17.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

ステップ 17.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

ステップ 17.1.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$18 (π + \frac{0}{2})$

ステップ 17.2

$0$ を $2$ で割ります。

$18 (π + 0)$

ステップ 18

$π$ と $0$ をたし算します。

$18 π$

ステップ 19

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$18 π$

10進法形式：

$56.54866776 \dots$

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例