微分積分例

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} - e^{- x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

ステップ 2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{1}^{6} e^{- x} d x$

ステップ 5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 5.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

ステップ 5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 5.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 6$

ステップ 5.5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$u_{upper} = - 6$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 6$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{- 1}^{- 6} - e^{u} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - - \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + 1 \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

ステップ 7.2

$\int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$6$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

ステップ 9.2

$- 6$ および $- 1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + (e^{- 6}) - e^{- 1}$

ステップ 9.3

不要な括弧を削除します。

$9 (\ln (| 6 |) - \ln (| 1 |)) + e^{- 6} - e^{- 1}$

ステップ 10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$9 \ln (\frac{| 6 |}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $6$ の間の距離は $6$ です。

$9 \ln (\frac{6}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

ステップ 11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$9 \ln (\frac{6}{1}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

ステップ 11.3

$6$ を $1$ で割ります。

$9 \ln (6) + e^{- 6} - e^{- 1}$

ステップ 11.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

10進法形式：

$15.76043453 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例