微分積分例

$\int_{1}^{64} \frac{3 + \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.3

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.4

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

ステップ 5.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.5.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

ステップ 5.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

ステップ 5.5.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}} d x$

ステップ 5.5.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6}} d x$

ステップ 5.6

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 3}{6}} d x$

ステップ 5.7

$2$ から $3$ を引きます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1}{6}} d x$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

ステップ 8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{6}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ です。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$64$ および $1$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$3 ((2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

ステップ 11.2

$64$ および $1$ で $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ の値を求めます。

$3 (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$3 (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.3.1

共通因数を約分します。

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.3.2

式を書き換えます。

$3 (2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.4

指数を求めます。

$3 (2 \cdot 8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.5

$2$ に $8$ をかけます。

$3 (16 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (16 - 2 \cdot 1) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$3 (16 - 2) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.8

$16$ から $2$ を引きます。

$3 \cdot 14 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.9

$3$ に $14$ をかけます。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.10

$64$ を $2^{6}$ に書き換えます。

$42 + \frac{6}{5} \cdot {(2^{6})}^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.11

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.12

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.12.1

共通因数を約分します。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.12.2

式を書き換えます。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.13

$2$ を $5$ 乗します。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 32 - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.14

$\frac{6}{5}$ と $32$ をまとめます。

$42 + \frac{6 \cdot 32}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.15

$6$ に $32$ をかけます。

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

ステップ 11.3.16

1のすべての数の累乗は1です。

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1$

ステップ 11.3.17

$- 1$ に $1$ をかけます。

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5}$

ステップ 11.3.18

公分母の分子をまとめます。

$42 + \frac{192 - 6}{5}$

ステップ 11.3.19

$192$ から $6$ を引きます。

$42 + \frac{186}{5}$

ステップ 11.3.20

$42$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$42 \cdot \frac{5}{5} + \frac{186}{5}$

ステップ 11.3.21

$42$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{42 \cdot 5}{5} + \frac{186}{5}$

ステップ 11.3.22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{42 \cdot 5 + 186}{5}$

ステップ 11.3.23

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.23.1

$42$ に $5$ をかけます。

$\frac{210 + 186}{5}$

ステップ 11.3.23.2

$210$ と $186$ をたし算します。

$\frac{396}{5}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{396}{5}$

10進法形式：

$79.2$

帯分数形：

$79 \frac{1}{5}$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例