微分積分例

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ を $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ に書き換えます。

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$7$ に $7$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.2

$7 (- \frac{4}{y})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.2.2

$- 7$ と $\frac{4}{y}$ をまとめます。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.2.3

$- 7$ に $4$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.4

$- \frac{4}{y} \cdot 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.4.2

$- 7$ と $\frac{4}{y}$ をまとめます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.4.3

$- 7$ に $4$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

ステップ 1.3.1.6

$- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

ステップ 1.3.1.6.2

$\frac{4}{y}$ に $1$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

ステップ 1.3.1.6.3

$\frac{4}{y}$ に $\frac{4}{y}$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

ステップ 1.3.1.6.4

$4$ に $4$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

ステップ 1.3.1.6.5

$y$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

ステップ 1.3.1.6.6

$y$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

ステップ 1.3.1.6.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

ステップ 1.3.1.6.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 1.3.2

$- \frac{28}{y}$ から $\frac{28}{y}$ を引きます。

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 1.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$- 2 \frac{28}{y}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.1

$- 2$ と $\frac{28}{y}$ をまとめます。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 1.4.1.2

$- 2$ に $28$ をかけます。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 1.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 5

$56$ は $y$ に対して定数なので、 $56$ を積分の外に移動させます。

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 6

$56$ に $- 1$ をかけます。

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 7

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

ステップ 8

$16$ は $y$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

ステップ 9.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

ステップ 9.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

ステップ 10

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

代入し簡約します。

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ステップ 11.1.1

$5$ および $1$ で $49 y$ の値を求めます。

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

ステップ 11.1.2

$5$ および $1$ で $\ln (| y |)$ の値を求めます。

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

ステップ 11.1.3

$5$ および $1$ で $- y^{- 1}$ の値を求めます。

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 11.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.4.1

$49$ に $5$ をかけます。

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 11.1.4.2

$- 49$ に $1$ をかけます。

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 11.1.4.3

$245$ から $49$ を引きます。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 11.1.4.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

ステップ 11.1.4.5

1のすべての数の累乗は1です。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

ステップ 11.1.4.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

ステップ 11.1.4.7

公分母の分子をまとめます。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

ステップ 11.1.4.8

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

ステップ 11.1.4.9

$16$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

ステップ 11.1.4.10

$16$ に $4$ をかけます。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

ステップ 11.1.4.11

$196$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11.1.4.12

$196$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11.1.4.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11.1.4.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.4.14.1

$196$ に $5$ をかけます。

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11.1.4.14.2

$980$ と $64$ をたし算します。

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11.1.4.15

$- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 11.1.4.16

$- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

ステップ 11.1.4.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

ステップ 11.1.4.18

$5$ に $- 56$ をかけます。

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

ステップ 11.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

ステップ 11.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

ステップ 11.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

ステップ 11.3.3

$5$ を $1$ で割ります。

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

10進法形式：

$118.67147690 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例