微分積分例

$\int_{1}^{5} \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

ステップ 2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - (x]_{1}^{5})$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$5$ および $1$ で $\ln (x) x$ の値を求めます。

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{5})$

ステップ 4.2

$5$ および $1$ で $x$ の値を求めます。

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$5$ を $\ln (5)$ の左に移動させます。

$5 \cdot \ln (5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 \ln (5) - \ln (1) - ((5) - 1)$

ステップ 4.3.3

$5$ から $1$ を引きます。

$5 \ln (5) - \ln (1) - 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$5 \ln (5) - \ln (1) - 4$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$5 \ln (5) - 0 - 4$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$5 \ln (5) + 0 - 4$

ステップ 5.2

$5 \ln (5)$ と $0$ をたし算します。

$5 \ln (5) - 4$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$5 \ln (5) - 4$

10進法形式：

$4.04718956 \dots$

微分積分 例

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