微分積分例

$\int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{4} x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

ステップ 1.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$4$ および $1$ で $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2.5

$\frac{2}{5}$ と $32$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2.6

$2$ に $32$ をかけます。

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

ステップ 3.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

ステップ 3.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 - 2}{5}$

ステップ 3.2.10

$64$ から $2$ を引きます。

$\frac{62}{5}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{62}{5}$

10進法形式：

$12.4$

帯分数形：

$12 \frac{2}{5}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例