微分積分例

$(\cos (0) + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) (\frac{π}{8})$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$(1 + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2

$\cos (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$(1 + \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$(1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5.6

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.2.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4

$\cos (\frac{3 π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.4.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{3 π}{8}$ を書き直します。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.4

公分母の分子をまとめます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) \frac{π}{8}$

ステップ 1.4.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

ステップ 2

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

ステップ 2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \frac{π}{8}$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

ステップ 3

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ に $\frac{π}{8}$ をかけます。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{2 \cdot 8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

ステップ 3.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

ステップ 4

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{π}{8}$ をかけます。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{16}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π + \sqrt{2} π}{16}$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

10進法形式：

$1.18346534 \dots$

微分積分 例

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