微分積分例

$40 h^{5} + 4000000 = p^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d p} (40 h^{5} + 4000000) = \frac{d}{d p} (p^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $40 h^{5} + 4000000$ の $p$ に関する積分は $\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$ です。

$\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d p} [40 h^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$40$ は $p$ に対して定数なので、 $p$ に対する $40 h^{5}$ の微分係数は $40 \frac{d}{d p} [h^{5}]$ です。

$40 \frac{d}{d p} [h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

ステップ 2.2.2

$f (p) = p^{5}$ および $g (p) = h$ のとき、 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ は $f' (g (p)) g' (p)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $h$ とします。

$40 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$40 (5 u^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $h$ で置き換えます。

$40 (5 h^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d p} [h]$ を $h'$ に書き換えます。

$40 (5 h^{4} h') + \frac{d}{d p} [4000000]$

ステップ 2.2.4

$5$ に $40$ をかけます。

$200 h^{4} h' + \frac{d}{d p} [4000000]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$4000000$ は $p$ について定数なので、 $p$ について $4000000$ の微分係数は $0$ です。

$200 h^{4} h' + 0$

ステップ 2.3.2

$200 h^{4} h'$ と $0$ をたし算します。

$200 h^{4} h'$

ステップ 3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 p^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$

ステップ 5

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ の各項を $200 h^{4}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ の各項を $200 h^{4}$ で割ります。

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$200$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

ステップ 5.2.2

$h^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

$h'$ を $1$ で割ります。

$h' = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

ステップ 6

$h'$ を $\frac{d h}{d p}$ で置き換えます。

$\frac{d h}{d p} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

微分積分 例

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