微分積分例

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ を方程式で書きます。

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ として書き換えます。

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

ステップ 3.2

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\ln (\frac{y}{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ として書き換えます。

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

ステップ 3.5.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

ステップ 3.5.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

ステップ 3.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

$2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ が $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

ステップ 5.2.3.1.2

$\ln (\frac{x}{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

ステップ 5.2.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

ステップ 5.2.3.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

ステップ 5.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

ステップ 5.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

ステップ 5.2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

ステップ 5.2.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ の値を求めます。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

ステップ 5.3.3

$2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ を $2 e^{\frac{x}{2}}$ で因数分解します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

ステップ 5.3.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

ステップ 5.3.3.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

ステップ 5.3.3.4.4

$e^{\frac{x}{2}} - 1$ を $1$ で割ります。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

ステップ 5.3.4

$e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

ステップ 5.3.4.2

$e^{\frac{x}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

ステップ 5.3.5

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{x}{2}$ を移動します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

ステップ 5.3.6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

ステップ 5.3.7

$\frac{x}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.8.2

式を書き換えます。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ は $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

微分積分 例

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