微分積分例

$\int x \sin (0.5 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (0.5 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - \int - 2 \cos (0.5 x) d x$

ステップ 2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - (- 2 \int \cos (0.5 x) d x)$

ステップ 3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (0.5 x) d x$

ステップ 4

$u = 0.5 x$ とします。次に $d u = 0.5 d x$ すると、 $\frac{1}{0.5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 0.5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0.5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

ステップ 4.1.2

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.5 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$0.5$ に $1$ をかけます。

$0.5$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{0.5} d u$

ステップ 5

$\cos (u)$ と $\frac{1}{0.5}$ をまとめます。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \frac{\cos (u)}{0.5} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{0.5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{0.5}$ を積分の外に移動させます。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 (\frac{1}{0.5} \int \cos (u) d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{0.5}$ と $2$ をまとめます。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} \int \cos (u) d u$

ステップ 8

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$

ステップ 9

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$ を $- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$ に書き換えます。

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $0.5 x$ で置き換えます。

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (0.5 x) + C$

ステップ 11

$2$ を $0.5$ で割ります。

$- 2 x \cos (0.5 x) + 4 \sin (0.5 x) + C$

微分積分 例

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