微分積分例

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x \cos (y)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2.3.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.2.6

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \sin (2 y)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ です。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 y$ とします。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $7$ をかけます。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

ステップ 2.4.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \sin (y)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 \cos (y) y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $4 \cos (y)$ を引きます。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $5 \cos (y) y'$ を引きます。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.4

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.4.1.1.2

$14$ に $1$ をかけます。

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.4.1.1.3

$- 2$ に $14$ をかけます。

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.4.1.1.4

分配則を当てはめます。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.4.1.2

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ の因数を並べ替えます。

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.5.1

$y'$ を $- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1.1

$y'$ を $- 4 x y' \sin (y)$ で因数分解します。

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5.1.2

$y'$ を $14 y'$ で因数分解します。

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5.1.3

$y'$ を $- 28 y' \sin^{2} (y)$ で因数分解します。

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5.1.4

$y'$ を $- 5 y' \cos (y)$ で因数分解します。

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5.1.5

$y'$ を $y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ で因数分解します。

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5.1.6

$y'$ を $y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ で因数分解します。

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5.1.7

$y'$ を $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ で因数分解します。

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

ステップ 5.5.2

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ の各項を $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ の各項を $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ で割ります。

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.2

$- 1$ を $- 4 x \sin (y)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.3

$14$ を $- 1 (- 14)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.4

$- 1$ を $- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.5

$- 1$ を $- 28 \sin^{2} (y)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.6

$- 1$ を $- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.7

$- 1$ を $- 5 \cos (y)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

ステップ 5.5.2.3.8

$- 1$ を $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

ステップ 5.5.2.3.9

式を簡約します。

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ステップ 5.5.2.3.9.1

$- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ を $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ に書き換えます。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

ステップ 5.5.2.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

ステップ 5.5.2.3.9.4

$\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

微分積分 例

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