微分積分例

$\int 5 t^{4} \sqrt{t^{5} + 4} d t$

ステップ 1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int t^{4} \sqrt{t^{5} + 4} d t$

ステップ 2

$u = t^{5} + 4$ とします。次に $d u = 5 t^{4} d t$ すると、 $\frac{1}{5} d u = t^{4} d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = t^{5} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$t^{5} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{5} + 4]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $t^{5} + 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [4]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [4]$

ステップ 2.1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 t^{4} + \frac{d}{d t} [4]$

ステップ 2.1.4

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$5 t^{4} + 0$

ステップ 2.1.5

$5 t^{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 t^{4}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$5 \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{5} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{5} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.3

$\int \sqrt{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $t^{5} + 4$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(t^{5} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例